2025102618 – 物理学家

📝 题目

【119】（2015·山东卷）如图所示，滑块A置于水平地面上，滑块B在一水平力作用下紧靠滑块A（A、B接触面竖直），此时A恰好不滑动，B刚好不下滑。已知A与B间的动摩擦因数为$\mu_1$，A与地面间的动摩擦因数为$\mu_2$，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则A与B的质量之比为（）。

A. $\frac{1}{\mu_1 \mu_2}$

B. $\frac{1 - \mu_1 \mu_2}{\mu_1 \mu_2}$

C. $\frac{1 + \mu_1 \mu_2}{\mu_1 \mu_2}$

D. $\frac{2 + \mu_1 \mu_2}{\mu_1 \mu_2}$

🔍 受力分析

滑块B的受力分析

滑块B受力示意图

（假设水平力F向右推B）

➊ B受到的力：

重力：$m_B g$，方向竖直向下
A对B的支持力：$N_1$，方向水平向左（垂直于接触面）
A对B的静摩擦力：$f_1$，方向竖直向上（防止B下滑）
水平推力：$F$，方向水平向右

➋ B的平衡条件：

由于B刚好不下滑，竖直方向平衡：

$f_1 = m_B g$

水平方向平衡：

$N_1 = F$

最大静摩擦力条件：

$f_1 = \mu_1 N_1$

➌ 联立方程：

将$f_1 = m_B g$和$N_1 = F$代入$f_1 = \mu_1 N_1$得：

$m_B g = \mu_1 F$

所以：

$F = \frac{m_B g}{\mu_1}$

滑块A的受力分析

滑块A受力示意图

➊ A受到的力：

重力：$m_A g$，方向竖直向下
地面对A的支持力：$N_2$，方向竖直向上
地面对A的静摩擦力：$f_2$，方向水平向左（防止A滑动）
B对A的压力：$N_1'$，方向水平向右（与$N_1$是作用力与反作用力）
B对A的摩擦力：$f_1'$，方向竖直向下（与$f_1$是作用力与反作用力）

➋ A的平衡条件：

竖直方向平衡：

$N_2 = m_A g + f_1' = m_A g + m_B g$

水平方向平衡：

$f_2 = N_1' = F$

最大静摩擦力条件：

$f_2 = \mu_2 N_2$

🧮 解题过程

联立方程求解

➊ 代入已知关系

由B的受力分析得：$F = \frac{m_B g}{\mu_1}$

由A的受力分析得：$f_2 = \mu_2 N_2 = \mu_2 (m_A g + m_B g)$

又因为$f_2 = F$，所以：

$\mu_2 (m_A g + m_B g) = \frac{m_B g}{\mu_1}$

➋ 简化方程

两边同时除以$g$：

$\mu_2 (m_A + m_B) = \frac{m_B}{\mu_1}$

➌ 解质量比

展开左边：

$\mu_2 m_A + \mu_2 m_B = \frac{m_B}{\mu_1}$

移项：

$\mu_2 m_A = \frac{m_B}{\mu_1} - \mu_2 m_B = m_B \left( \frac{1}{\mu_1} - \mu_2 \right)$

所以：

$\frac{m_A}{m_B} = \frac{\frac{1}{\mu_1} - \mu_2}{\mu_2} = \frac{1}{\mu_1 \mu_2} - 1 = \frac{1 - \mu_1 \mu_2}{\mu_1 \mu_2}$

正确答案：B. $\frac{1 - \mu_1 \mu_2}{\mu_1 \mu_2}$

结果验证

我们可以通过极限情况验证这个结果：

                        当$\mu_1$和$\mu_2$都很大时，质量比趋近于$-1$，但质量不能为负，所以实际上$\mu_1 \mu_2$不能大于1
当$\mu_1$或$\mu_2$很小时，质量比会很大，这符合物理直觉——摩擦系数越小，需要A的质量越大来防止滑动
当$\mu_1 \mu_2 = 1$时，质量比为0，这意味着B的质量可以无限大而A的质量为0，这在实际中不可能，所以$\mu_1 \mu_2$必须小于1

                    

📝 题目

A. $\frac{1}{\mu_1 \mu_2}$

B. $\frac{1 – \mu_1 \mu_2}{\mu_1 \mu_2}$

C. $\frac{1 + \mu_1 \mu_2}{\mu_1 \mu_2}$

D. $\frac{2 + \mu_1 \mu_2}{\mu_1 \mu_2}$

🔍 受力分析

滑块B的受力分析

滑块B受力示意图

（假设水平力F向右推B）

➊ B受到的力：

重力：$m_B g$，方向竖直向下
A对B的支持力：$N_1$，方向水平向左（垂直于接触面）
A对B的静摩擦力：$f_1$，方向竖直向上（防止B下滑）
水平推力：$F$，方向水平向右

➋ B的平衡条件：

由于B刚好不下滑，竖直方向平衡：

$f_1 = m_B g$

水平方向平衡：

$N_1 = F$

最大静摩擦力条件：

$f_1 = \mu_1 N_1$

➌ 联立方程：

将$f_1 = m_B g$和$N_1 = F$代入$f_1 = \mu_1 N_1$得：

$m_B g = \mu_1 F$

所以：

$F = \frac{m_B g}{\mu_1}$

滑块A的受力分析

滑块A受力示意图

➊ A受到的力：

重力：$m_A g$，方向竖直向下
地面对A的支持力：$N_2$，方向竖直向上
地面对A的静摩擦力：$f_2$，方向水平向左（防止A滑动）
B对A的压力：$N_1’$，方向水平向右（与$N_1$是作用力与反作用力）
B对A的摩擦力：$f_1’$，方向竖直向下（与$f_1$是作用力与反作用力）

➋ A的平衡条件：

竖直方向平衡：

$N_2 = m_A g + f_1′ = m_A g + m_B g$

水平方向平衡：

$f_2 = N_1′ = F$

最大静摩擦力条件：

$f_2 = \mu_2 N_2$

🧮 解题过程

联立方程求解

➊ 代入已知关系

由B的受力分析得：$F = \frac{m_B g}{\mu_1}$

由A的受力分析得：$f_2 = \mu_2 N_2 = \mu_2 (m_A g + m_B g)$

又因为$f_2 = F$，所以：

$\mu_2 (m_A g + m_B g) = \frac{m_B g}{\mu_1}$

➋ 简化方程

两边同时除以$g$：

$\mu_2 (m_A + m_B) = \frac{m_B}{\mu_1}$

➌ 解质量比

展开左边：

$\mu_2 m_A + \mu_2 m_B = \frac{m_B}{\mu_1}$

移项：

$\mu_2 m_A = \frac{m_B}{\mu_1} – \mu_2 m_B = m_B \left( \frac{1}{\mu_1} – \mu_2 \right)$

所以：

$\frac{m_A}{m_B} = \frac{\frac{1}{\mu_1} – \mu_2}{\mu_2} = \frac{1}{\mu_1 \mu_2} – 1 = \frac{1 – \mu_1 \mu_2}{\mu_1 \mu_2}$

正确答案：B. $\frac{1 – \mu_1 \mu_2}{\mu_1 \mu_2}$

结果验证

我们可以通过极限情况验证这个结果：

                        当$\mu_1$和$\mu_2$都很大时，质量比趋近于$-1$，但质量不能为负，所以实际上$\mu_1 \mu_2$不能大于1
当$\mu_1$或$\mu_2$很小时，质量比会很大，这符合物理直觉——摩擦系数越小，需要A的质量越大来防止滑动
当$\mu_1 \mu_2 = 1$时，质量比为0，这意味着B的质量可以无限大而A的质量为0，这在实际中不可能，所以$\mu_1 \mu_2$必须小于1

                    

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